Метод Ньютона (также известный как метод касательных) - это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643-1727), под именем которого и обрёл свою известность.
Метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (лат.О б анализе уравнениями бесконечных рядов), адресованной в 1669 году Барроу , и в работе De metodis fluxionum et serierum infinitarum (лат.Метод флюксий и бесконечные ряды) или Geometria analytica (лат.Аналитическая геометрия) в собраниях трудов Ньютона, которая была написана в 1671 году. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения x n , а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение x.
Впервые метод был опубликован в трактате Алгебра Джона Валлиса в 1685 году, по просьбе которого он был кратко описан самим Ньютоном. В 1690 году Джозеф Рафсон опубликовал упрощённое описание в работеAnalysis aequationum universalis (лат. Общий анализ уравнений). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил его применение полиномами, однако при этом он описал метод на основе последовательных приближений x n вместо более трудной для понимания последовательности полиномов, использованной Ньютоном.
Наконец, в 1740 году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента.
В соответствии с данным методом задача поиска корня функции сводится к задаче поиска точки пересечения с осью абсцисс касательной, построенной к графику функции .
Рис.1 . График изменение функции
Проведенная в любой точке касательная линия к графику функции определяется производной данной функции в рассматриваемой точке, которая в свою очередь определяется тангенсом угла α (). Точка пересечения касательной с осью абсцисс определяется исходя из следующего соотношения в прямоугольном треугольнике: тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется отношением противолежащего катета к прилежащему катету треугольнику. Таким образом, на каждом шаге строится касательная к графику функции в точке очередного приближения . Точка пересечения касательной с осью Ox будет являться следующей точкой приближения . В соответствии с рассматриваемым методом расчет приближенного значения корня на i -итерации производится по формуле:
Наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом, однако следует обратить внимание на то, что алгоритм не учитывает кривизну графика и следовательно в процессе расчета остается неизвестно в какую сторону может отклониться график.
Условием окончания итерационного процесса является выполнение следующего условия:
где ˗ допустимая погрешность определения корня.
Метод обладает квадратичной сходимостью. Квадратичная скорость сходимость означает, что число верных знаков в приближённом значении удваивается с каждой итерацией.
Математическое обоснование
Пусть дана вещественная функция , которая определена и непрерывна на рассматриваемом участке. Необходимо найти вещественный корень рассматриваемой функции.
Вывод уравнения основано на методе простых итераций, в соответствии с которым уравнение приводят к эквивалентному уравнению при любой функции . Введем понятие сжимающего отображения, которое определяется соотношением .
Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения должно выполняться условие . Данное требование означает, что корень функции должен соответствовать экстремуму функции .
Производная сжимающего отображения определяется в следующем виде:
Выразим из данного выражение переменную при условии принятого ранее утверждения о том, что при необходимо обеспечить условие . В результате получим выражение для определения переменной :
С учетом этого сжимающая функция прием следующий вид:
Таким образом, алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:
Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу
1. Задать начальную точку приближенного значения корня функции , а также погрешность расчета (малое положительное число ) и начальный шаг итерации ( ).
2. Выполнить расчет приближенного значения корня функции в соответствии с формулой:
3. Проверяем приближенное значение корня на предмет заданной точности, в случае:
Если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается.
Если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.
Пример решения уравнений
по методу Ньютона для уравнения с одной переменной
В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения методом Ньютона для уравнения с одной переменной . Корень необходимо найти с точностью в качестве первого приближения .
Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD представлен на рисунке 3.
Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.2).
Рис.2 . Результаты расчета по методу Ньютона для уравнения с одной переменной
Для обеспечения заданной точности при поиске приближенного значения корня уравнения в диапазоне необходимо выполнить 4 итерации. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .
Рис.3 . Листинг программы в MathCad
Модификации метода Ньютона для уравнения с одной переменной
Существует несколько модификаций метода Ньютона, которые направлены на упрощение вычислительного процесса.
Упрощенный метод Ньютона
В соответствии с методом Ньютона требуется вычислять производную функции f(x) на каждом шаге итерации, что ведет к увеличению вычислительных затрат. Для уменьшения затрат, связанных с вычислением производной на каждом шаге расчета, можно произвести замену производной f’(x n ) в точке x n в формуле на производную f’(x 0) в точке x 0 . В соответствии с данным методом расчета приближенное значение корня определяется по следующей формуле: Модифицированный метод Ньютона
Разностный метод Ньютона
В результате приближенное значение корня функции f(x) будет определяться выражением разностного метода Ньютона:
Двух шаговый метод Ньютона
В соответствии с методом Ньютона требуется вычислять производную функции f(x) на каждом шаге итерации, что не всегда удобно, а иногда практически невозможно. Данный способ позволяет производную функции заменить разностным отношением (приближенным значением):
В результате приближенное значение корня функции f(x) будет определяться следующим выражением:
где
Рис.5 . Двух шаговый метод Ньютона
Метод секущих является двух шаговым, то есть новое приближение определяется двумя предыдущими итерациями и . В методе необходимо задавать два начальных приближения и . Скорость сходимости метода будет линейной.
Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.
Ключевые слова:
Цель работы: изучить методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным и апробировать их в опытно-экспериментальной работе.
Задачи работы:
‒ Шаговый метод
‒ Метод деления пополам
‒ Метод Ньютона
Введение.
Без математической грамотности невозможно успешное освоение методов решения задач по физике, химии, биологии и другим предметам. Весь комплекс естественных наук построен и развивается на базе математических знаний. Например, исследование ряда актуальных задач математической физики приводит к необходимости решения нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений необходимо в нелинейной оптике, физике плазмы, теории сверхпроводимости и физике низких температур. По этой теме есть достаточное количество литературы, но во многих учебниках и статьях трудно разобраться ученику средней школы. В данной работе рассмотрены методы решения нелинейных уравнений, которые можно использовать при решении прикладных задач физики, химии. Интересным представляется аспект применения информационных технологий к решению уравнений и задач по математике.
Шаговый метод.
Пусть требуется решить нелинейное уравнение вида уравнение F(x)=0. Предположим также, что нам задан некоторый интервал поиска . Требуется найти интервал [а,b] длиной h, содержащий первый корень уравнения, начиная с левой границы интервала поиска.
Рис. 1. Шаговый метод
Решить подобную задачу можно несколькими способами. Шаговый метод является наиболее простым из численных методов решения неравенств, но для достижения большой точности необходимо существенно уменьшить шаг, а это сильно увеличивает время расчётов. Алгоритм решения уравнений с помощью данного метода состоит из двух этапов.
I этап. Отделение корней.
На этом этапе определяются участки, на каждом из которых находится только один корень уравнения. Есть несколько вариантов реализации этого этапа:
II этап. Уточнение корней.
На данном этапе значение корней уравнения, определенных ранее, уточняется. Как правило на этом этапе используются итерационные методы. Например, метод половинного деления (дихотомии) или метод Ньютона.
Метод половинного деления
Быстрый и достаточно простой численный метод решения уравнений, основанный на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения F(x)=0 до того времени, пока не будет достигнута заданная точность Е. Данный метод обычно используется при решении квадратных уравнений и уравнений высших степеней. Однако у данного метода есть существенный недостаток - если на отрезке [а,b] содержится более одного корня, то с его помощью не удастся добиться хороших результатов.
Рис. 2. Метод дихотомии
Алгоритм данного метода следующий:
‒ Определить новое приближение корня х в середине отрезка [а;b]: х=(а+b)/2.
‒ Найти значения функции в точках а и х: F(a) и F(x).
‒ Проверить условие F(a)*F(x)
‒ Перейти к пункту 1 и вновь поделить отрезок пополам. Алгоритм продолжить до того времени, пока не будет выполнено условие |F(x)|
Метод Ньютона
Самый точный из численных методов решения; подходит для решения очень сложных уравнений, но усложняется необходимостью вычисления производных на каждом шаге. заключается в том, что если x n - некоторое приближение к корню уравнения 
, то следующее приближение определяется как корень касательной к функции f(x), проведенной в точке x n .
Уравнение касательной к функции f(x) в точке x n имеет вид:
В уравнении касательной положим y = 0 и x = x n +1 .
Тогда алгоритм последовательных вычислений в методе Ньютона состоит в следующем:
Сходимость метода касательных квадратичная, порядок сходимости равен 2.
Таким образом, сходимость метода касательных Ньютона очень быстрая.
Без всяких изменений метод обобщается на комплексный случай. Если корень x i является корнем второй кратности и выше, то порядок сходимости падает и становится линейным.
К недостаткам метода Ньютона следует отнести его локальность, поскольку он гарантированно сходится при произвольном стартовом приближении только, если везде выполнено условие 
, в противной ситуации сходимость есть лишь в некоторой окрестности корня.
Метод Ньютона (метод касательных) обычно применяется в том случае, если уравнение f(x) = 0 имеет корень , и выполняются условия:
1) функция y= f(x) определена и непрерывна при ;
2) f(a)·f(b) (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка [a;b ]);
3) производные f"(x) и f""(x) сохраняют знак на отрезке [a;b ] (т. е. функция f(x) либо возрастает, либо убывает на отрезке [a;b ], сохраняя при этом направление выпуклости);
Смысл метода заключается в следующем: на отрезке [a;b ] выбирается такое число x 0 , при котором f(x 0) имеет тот же знак, что и f""(x 0), т. е. выполняется условие f(x 0)·f""(x) > 0 . Таким образом, выбирается точка с абсциссой x 0 , в которой касательная к кривой y=f(x) на отрезке [a;b ] пересекает ось Ox . За точку x 0 сначала удобно выбирать один из концов отрезка.
Рассмотрим данный алгоритм на конкретном примере.
Пусть нам дана возрастающая функция y = f(x) =x 2– 2, непрерывная на отрезке (0;2), и имеющая f "(x) =2x>0 и f ""(x) = 2> 0 .
В нашем случае уравнение касательной имеет вид: y-y 0 =2x 0 ·(x-x 0). В качестве точки x 0 выбираем точку B 1 (b; f(b)) = (2,2). Проводим касательную к функции y = f(x) в точке B 1 , и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x 1 . Получаем уравнение первой касательной:y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Ox: x 1 =
Рис. 3. Построение первой касательной к графику функции f(x)
y=f(x) Ox через точку x 1 , получаем точку В 2 =(1.5; 0.25) . Снова проводим касательную к функции y = f(x) в точке В 2 , и обозначаем точку пересечения касательной и Ox точкой x 2 .
Уравнение второй касательной: y-2.25=2*1.5(x-1.5), y = 3x - 4.25. Точка пересечения касательной и оси Ox: x 2 = .
Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x 2 , получаем точку В 3 и так далее.
Рис. 4. Построение второй касательной к графику функции f(x)
Первое приближение корня определяется по формуле:
= 1.5.
Второе приближение корня определяется по формуле:
=
Третье приближение корня определяется по формуле:
Таким образом, i -ое приближение корня определяется по формуле:
Вычисления ведутся до тех пор, пока не будет достигнуто совпадение десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или заданной точности e - до выполнения неравенства |xi-xi-1|
В нашем случае, сравним приближение, полученное на третьем шаге с реальным ответом. Как видно, уже на третьем шаге мы получили погрешность меньше 0.000002.
Решение уравнения при помощи САПР MathCAD
Для простейших уравнений вида f (x ) = 0 решение в MathСAD находится с помощью функции root .
root(f (х 1 , x 2 , … ) , х 1 , a, b ) - возвращает значение х 1 , принадлежащее отрезку [ a, b ] , при котором выражение или функция f (х ) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.
Рис. 5. Решение нелинейного уравнения в MathCAD (функция root)
Если в результате применения данной функции возникает ошибка, то это может означать, что уравнение не имеет корней, или корни уравнения расположены далеко от начального приближения, выражение имеет локальные max и min между начальным приближением и корнями.
Чтобы установить причину ошибки, необходимо исследовать график функции f (x ). Он поможет выяснить наличие корней уравнения f (x ) = 0 и, если они есть, то определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет найдено его точное значение.
Если начальное приближение неизвестно, то целесообразно использовать функцию solve . При этом если уравнение содержит несколько переменных, нужно указать после ключевого слова solve список переменных, относительно которых решается уравнение.
Рис. 6. Решение нелинейного уравнения в MathCAD (функция solve)
Заключение
В ходе исследования были рассмотрены как математические методы, так и решение уравнений с использованием программирования в САПР MathCAD. Различные методы имеют свои достоинства и недостатки. Следует отметить, что применение того или иного метода зависит от начальных условий заданного уравнения. Те уравнения, которые хорошо решаются известными в школе методами разложения на множители и т. п., не имеет смысла решать более сложными способами. Прикладные задачи математики, важные для физики, химии и требующие сложных вычислительных операций при решении уравнений успешно решаются, например, с помощью программирования. Их же хорошо решать методом Ньютона.
Для уточнения корней можно применять несколько методов решения одного и того же уравнения. Именно это исследование и легло в основу данной работы. При этом легко проследить, какой метод наиболее удачен при решении каждого этапа уравнения, а какой метод на данном этапе лучше не применять.
Изученный материал, с одной стороны, способствует расширению и углублению математических знаний, привитию интереса к математике. С другой стороны, задачи реальной математики важно уметь решать тем, кто собирается приобрести профессии технического и инженерного направления. Поэтому данная работа имеет значение для дальнейшего образования (например, в высшем учебном заведении).
Литература:
Ключевые слова: нелинейные уравнения, прикладная математика, САПР MathCAD, метод Ньютона, шаговый метод, метод дихотомии. .
Аннотация: Статья посвящена изучению методов решения нелинейных уравнений, в том числе, с использованием системы автоматизированного проектирования MathCAD. Рассмотрены шаговый метод, методы половинного деления и Ньютона, приведены подробные алгоритмы применения данных методов, а также проведен сравнительный анализ указанных методов.
Задача о нахождении решений системы из n нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений сn неизвестными вида
f 1(x 1, x 2, … x n ) = 0, | ||
f 2(x 1, x 2, … x n ) = 0, | ||
…………………… |
||
f n (x 1 ,x 2 ,… x n ) = 0, |
широко рассмотрена в вычислительной практике. Подобные системы уравнений могут возникать, например, при численном моделировании нелинейных физических систем на этапе поиска их стационарных состояний. В яде случаев системы вида (6.1) получаются опосредованно, в процессе решения некоторой другой вычислительной задачи. К примеру, пытаясь минимизировать функцию нескольких переменных, можно искать те точки многомерного пространства, где градиент функции равен нулю. При этом приходится решать систему уравнений (6.1) с левыми частями – проекциями градиента на координатные оси.
В векторных обозначениях систему (6.1) можно записать в более компактной форме
вектор столбец функций, символом () T обозначена операция транспони-
Поиск решений системы нелинейных уравнений – это задача намного более сложная, чем решение одного нелинейного уравнения. Тем не менее ряд итерационных методов решения нелинейных уравнений может быть распространен и на системы нелинейных уравнений.
Метод простой итерации для систем нелинейных уравнений по существу является обобщением одноименного метода для одного уравнения. Он основан на том, что система уравнений (6.1) приводится к виду
x 1= g 1(x 1, x 2, … , x n ) , x 2= g 2(x 1, x 2, … , x n ) ,
……………………
x n= g n(x 1 , x 2 , … , x n) ,
и итерации проводятся по формулам
x 1 (k + 1 )= g 1 (x 1 (k ), x 2 (k ), … , x n (k )) , x 2 (k + 1 )= g 2 (x 1 (k ), x 2 (k ), … , x n (k )) ,
……………………………
x n (k + 1 )= g n (x 1 (k ), x 2 (k ), … , x n (k )) .
Здесь верхний индекс указывает на номер приближения. Итерационный процесс (6.3) начинается с некоторого начального приближения
(x 1 (0 ) ,x 2 (0 ) ,… ,x n (0 ) ) и продолжаются до тех пор, пока модули приращений
всех аргументов после одной k- итерации не станут меньше заданной величиныε :x i (k + 1 ) − x i (k ) < ε дляi = 1,2,… ,n .
Хотя метод простой итерации прямо ведет к решению и легко программируется, он имеет два существенных недостатка. Один из них – медленная сходимость. Другой состоит в том, что если начальное приближение выбрано далеко от истинного решения (X 1 ,X 2 ,… ,X n ) , то сходимость
метода не гарантированна. Ясно, что проблема выбора начального приближения, не простая даже для одного уравнения, для нелинейных систем становится весьма сложной.
Решить систему нелинейных уравнений:
(x ... | ) =0 | |||
F n (x 1 ... | x n) = 0 . | |||
Не существует прямых методов решения нелинейных систем общего вида. Лишь в отдельных случаях систему (4.1) можно решить непосредственно. Например, для случая двух уравнений иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно одного неизвестного.
Для решения систем нелинейных уравнений обычно используются итерационные методы.
В случае одного уравнения F (x ) = 0 алгоритм метода Ньютона был легко получен путем записи уравнений касательной к кривойy = F (x ) . В основе метода Ньютона для систем уравнений лежит использование разложения функцийF 1 (x 1 ...x n ) в ряд Тейлора, причем члены, содержа-
щие вторые (и более высоких порядков) производные, отбрасываются. Пусть приближенные значения неизвестных системы (4.1) равны со-
ответственно a 1 ,a 2 ,....,a n . Задача состоит в нахождении приращений (по-
правок) к этим значениям | x 1 ,x 2 ,..., | x n , благодаря которым решение сис- |
|
темы запишется в виде: | |||
x 1= a 1+ x 1, | x 2= a 2+ | x 2 , .... ,x n = a n + x n . | |
Проведем разложение левых частей уравнений (4.1) с учетом разложения в ряд Тейлора, ограничиваясь лишь линейными членами относи-
тельно приращений: | ||||||
F1 (x1 ... xn ) ≈ F1 (a1 ... an ) + | ∂ F 1 | x 1+ | + ∂ F 1 | x n, |
||
∂x | ∂x | |||||
F2 (x1 ... xn ) ≈ F2 (a1 ... an ) + | ∂ F 2 | x 1+ | ∂ F 2 | x n, |
||
∂x | ∂x | |||||
................................... | ||||||
F n(x 1 ... x n) ≈ F n(a 1 ... a n) + | ∂ F n | x 1+ | ∂ F n | xn . |
||
∂x | ∂x | |||||
Подставляя в систему (4.1), получим следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно приращений:
∂ F 1 | ∂ F 1 | + ∂ F 1 | = −F , |
||||||
∂x | ∂x | ∂x | |||||||
∂ F 2 | ∂ F 2 | ∂ F 2 | = −F , |
||||||
∂x | ∂x | ∂x | |||||||
.............................. | |||||||||
∂ F n | ∂ F n | ∂ F n | = −F . |
||||||
∂x | ∂x | ∂x | |||||||
Значения F 1 ... | производные | вычисляются при |
|||||||
x 2 = a 2 , …x n = a n .
Определителем системы (4.3) является якобиан:
∂ F 1 | ∂ F 1 |
|
∂x | ∂x |
|
∂ F 2 | ∂ F 2 |
|
J = ∂ x | ∂ x. |
|
… … … …
∂ F n… … ∂ F n∂ x 1 ∂ x n
x 1= a 1,
Для существования единственного решения системы якобиан должен быть отличен от нуля на каждой итерации.
Таким образом, итерационный процесс решения системы уравнений методом Ньютона состоит в определении приращений x 1 ,x 2 , ...,x n к значениям неизвестных на каждой итерации путем решения системы линейных алгебраических уравнений (4.3). Счет прекращается, если все приращения становятся малыми по абсолютной величине: maxx i < ε . В ме-
тоде Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хорошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы.
В качестве примера рассмотрим использование метода Ньютона для решения системы двух уравнений:
∂ ∂ F 1. x
Величины, стоящие в правой части, вычисляются при x = a ,y = b .
Если выполняются условия | y − b | < εи | x − a | при заданном M , то |
|||||
выводятся значения x иy , | в противном случае | происходит вывод |
|||||||
x ,y ,M . | |||||||||
Решение нелинейных уравнений методом Ньютона
Для решения электроэнергетических задач существует несколько моди-фикаций метода. Они позволяют увеличить скорость сходимости итераци-онного процесса и уменьшить время расчета.
Основное достоинство метода – он обладает быстрой сходимостью.
Идея метода состоит в последовательной замене на каждой итерации расчета исходной нелинейной системы уравнений некоторой вспомогатель-ной линейной системой уравнений, решение которой позволяет получить очередное приближение неизвестных, более близкое к искомому решению (линеаризация ).
Рассмотрим нелинейное уравнение в общем виде:
Искомое решение уравнения – точка, в которой кривая пересекает ось абсцисс.
Задаем начальное приближение неиз-вестной х (0) . Определяем значение функции в этой точке w(х (0)) и проводим касательную к кривой в точке В. Точка пересечения этой касательной с осью абсцисс определяет сле-дующее приближение неизвестной х (1) и т.д.
Разложим уравнение (1) в ряд Тейлора в окрестностях точки х (0) . Рас-смотрим члены разложения, содержащие только 1-ю производную:
(2)
х – х (0) = Δх - поправка к неизвестной. Если определим её, то сможем определить и следующее приближение.
Из (2) определяем поправку 
(3)
Тогда следующее приближение: 
(5)
Аналогично получаем к -е приближения:
Это рекуррентная формула метода Ньютона для решения нелинейных уравнений. Она позволяет определять очередные приближения неизвестных.
Формулу (6) можно получить другим способом из рисунка:
Итерационный процесс сходится, если уменьшается и приближается к 0 . Результат достигнут, если .
Комментарий к геометрической интерпретации
Итерационный шаг метода сводится к замене кривой на прямую, ко-торая описывается левой частью уравнения (2). Она является касательной к кривой в точке . Этот процесс называется линеаризацией . Точка пере-сечения касательной к кривой с осью х дает очередное приближение неиз-вестной . Поэтому этот метод называется методом касательных .
Пример:
Пример:
Для того, чтобы определить этим методом все корни нелинейного урав-нения, нужно любым способом определить приблизительное расположение этих корней и задать начальные приближения в близи них.
Простой способ определения области расположения корней - табуляция .
Итерационный процесс Ньютона не сходится , если начальные приближения выбраны так, что:
Процесс или не сходится или сходится очень плохо.
Метод Ньютона-Рафсона для решения СНАУ
Рафсон показал, что итерационный метод Ньютона, предложенный для решения одного нелинейного уравнения , можно использовать для решения систем нелинейных уравнений.
При этом, для решения систем нелинейных уравнений нужно вместо од-ной неизвестной рассматривать совокупность(вектор) неизвестных :
вместо одной невязки уравнения, рассматриваем вектор невязок уравнений системы:
Одна производная в (6) замещается матрицей производных . Операция деления в (6) замещается умножением на обратную матрицу производных. В этом случае метод Ньютона-Рафсона отличается от метода Ньютона пере-ходом от одномерной задачи к многомерной .
Рассмотрим систему действительных нелинейных алгебраических уравне-ний:
(7)
В матричном виде ее можно записать:
где Х = х 2 – вектор – столбец неизвестных;
w 1 (х 1 , х 2 , … х n)
W = w 2 (х 1 , х 2 , … х n) – вектор-функция.
w n (х 1 , х 2 , … х n)
Пусть 
- начальные приближения неизвестных. Разложим каждое уравнение системы (7) в ряд Тейлора в окрестности точки Х (0)
, то есть выполним приближенную замену исходных нелинейных уравнений линей-ными, в которых сохраняется только 1-я производная (линеаризация). В ре-зультате система уравнений (7) принимает вид:
(9)
В результате получили систему линейных уравнений (линеаризованная система), в которой неизвестными являются поправки . Коэф-фициенты при неизвестных в этой системе – первые производные от урав-нений w j исходной нелинейной системы по всем неизвестным Х i . . Они обра-зуют матрицу коэффициентов – матрицу Якоби :
= 
Каждая строка матрицы состоит из первых производных от очередного урав-нения нелинейной системы по всем неизвестным.
Запишем линеаризованную систему (9) в матричной форме:
(10)
Здесь - вектор невязок уравнений исходной системы. Его эле-менты получаем при подстановке в уравнения нелинейной системы очеред-ных приближений неизвестных;
- матрица Якоби . Ее элементами являются первые частные про-изводные от всех уравнений исходной системы по всем неизвестным;
- вектор поправок к искомым неизвестным. На каждой итерации он может быть записан:
Систему (10) с учетом принятых обозначений можно записать:
(12)
Эта система линейна относительно поправок ΔХ (к) .
Система (13) - линеаризованная система уравнений, которой заменяется исходная СНАУ на каждом шаге итерационного процесса.
Система (13) решается любым известным способом, в результате находим вектор поправок . Затем из (11) можем найти очередные приближения неизвестных:
Т.о. каждый шаг итерационного процесса состоит в решении линейной сис-темы (13) и определении очередного приближения из (14).
Из (11) и (12) можно получить общую рекуррентную формулу (в матричном виде), соответствующую методу Ньютона–Рафсона:
(15)
Она имеет структуру, соответствующую формуле (6).
Формула (15) в практических расчетах используется редко , так как здесь нужно обращать матрицу Якоби (большой размерности) на каждой итерации расчетов. В реальных расчетах поправки определяются в результате решения линейной системы (13).
Контроль завершения итерационного процесса выполняем по вектору невязок:
Это условие должно выполняться для невязок всех уравнений системы.
Алгоритм решения СНАУ методом Ньютона-Рафсона
1. Задание вектора начальных приближений неизвестных .
Задание точности расчета є , других параметров расчета
2. Определение невязок нелинейных уравнений в точке приближения ;
2.3. Определение элементов матрицы Якоби в точке очередного прибли-жения неизвестных ;
2.4. Решение линеаризованной системы (13) любым известным методом. Определение поправок к неизвестным .
2.5. Определение очередного приближения неизвестных в соответ-ствии с (14).
2.6. Контроль завершения итерационного процесса в соответствии с (16). Если условие не выполняется, то возврат к пункту 2.
Примерчик:
Решить СЛАУ методом Ньютона-Рафсона:
(решение Х 1 =Х 2 =2)
Запишем уравнения в виде невязок:
Определяем элементы матрицы Якоби:
Матрица Якоби:
Реализуем алгоритм метода Ньютона-Рафсона:
1) Первая итерация:
Начальные приближения 
Невязки 
Матрица Якоби: 
Линеаризованная система уравнений:
1-е приближение неизвестных:
2) Вторая итерация
3) Третья итерация:
… ……… …… …… …… ……..
Решение систем уравнений установившегося режима методом Ньютона-Рафсона
Нелинейное уравнение установившегося режима в форме баланса мощ-ности для -го узла имеет вид:
(17)
Это уравнение с комплексными неизвестными и коэффициентами. Для того, чтобы такие уравнения вида (17) можно было решать методом Ньюто-на-Рафсона, их преобразуют: разделяют действительные и мнимые части. В результате этого каждое комплексное уравнение вида (17) распадается на два действительных уравнения, которые соответствуют балансу активной и ре-активной мощности в узле:
Здесь -заданные мощности в узле;
Неизвестные составляющие напряжения в узлах. Их нужно
определить в результате расчета.
В правой части уравнений (18) - расчетная суммарная мощность пере-токов в ветвях, подходящих к -му узлу.
Запишем эти уравнения (18) в виде невязок :
Невязки уравнений (19) соответствует расчетному небалансу активной и реактивной мощности в -ом узле.
Невязки описывают режим узла і и являются нелинейными функциями от неизвестных напряжений в узлах . Нужно, чтобы -> 0.
Будем решать методом Ньютона-Рафсона систему 2n уравнений вида (19), то есть для решения задачи расчета установившегося режима электри-ческой сети методом Ньютона - Рафсона нужно:
1) сформировать систему 2n уравнений вида (19) для всех узлов электрической сети, кроме балансирующих;
2) организовать итерационный процесс метода Ньютона-Рафсона
для решения этой системы уравнений. В результате решения
получаем искомые составляющие напряжений в узлах .
Запишем эту систему уравнений в общем виде:
(20)
Получили систему 2 нелинейных уравнений невязок с 2 неизвест-ными, которыми. Неизвестными в ней являются составляющие напряжения - модули и углы .
Для решения системы (20) методом Ньютона-Рафсона нужно составить вспомогательную линеаризованную систему уравнений вида (13), решая ко-торую на каждой итерации, определяем поправки к неизвестным:
(21)
С учетом принятых обозначений система (21) может быть записана:
(22)
где -матрица Якоби, её элементами являются частные производные от уравнений системы (20) по всем неизвестным - составляющим напряже-ний 
Вектор невязок уравнений системы (20). Их значения получаем при подстановке в уравнения очередных приближений неизвестных;
Вектор поправок к неизвестным:
; ΔӨ i
= Ө i (к+1) - Ө i (к)
, ΔU i = U i (к+1) - U i (к) .
Для определения элементов матрицы Якоби применяем аналитическое дифференцирование , т.е. дифференцируем каждое уравнение системы (20) по искомым величинам – углам и модулям напряжений. Чтобы сформировать матрицу Якоби, нужно получить аналитические выражения для производных следующих видов :
1) Производная от уравнения невязки активной мощности го узла по углу напряжения этого же узла: ;
2) Производная от уравнения невязки активной мощности го узла по углу напряжения смежного j- го узла: ;
3) Производная от невязки активной мощности го узла по модулю напряжения этого же узла: ;
4) Производная от невязки активной мощности го узла по модулю напряжения смежного узла: ;
Аналогично определяются ещё четыре вида производных – производные от уравнений невязки реактивной мощности го узла по всем неизвестным:
5) ; 6) ; 7) ; 8) .
С учетом этих производных матрицу Якоби можно записать в общем виде:
(23)
Определим аналитические выражения для производных, дифференци-руя уравнения системы (20) по неизвестным величинам. Они имеют вид:
(24)
Матрица Якоби в общем случае - квадратная матрица, симметричная, размерностью , её элементами являются частные производные от невязок уравнений (небаланса мощностей) по всем неизвестным.
Если узлы не связаны между собой, то соответствующие произ-водные в матрицы матрице Якоби, расположенные вне диагонали, будут равны нулю (аналогично матрице проводимостей) – т.к. в соответствующих форму-лах (24) взаимная проводимость y ij является сомножителем и. y ij =0.
Каждая строка матрицы – это производные от очередного уравнения системы (20).
Наличие в схеме моделируемой сети особых узлов (опорные и балансирую-щие узлы, узлы ФМ) сказывается на структуре системы уравнений устано-вившегося режима и на структуре матрицы Якоби:
1. Для узлов с фиксацией модуля напряжения (ФМ), в которых заданы и неизвестными являются и , из матрицы Якоби исключается стро-ка производных (т.к. Q i не задана, то и уравнение баланса реак-тив-ной мощности (18), (19) составить нельзя) и столбец производных (т.к. модуль напряжения U i известен и он исключается из состава неизвест-ных).
2. Для узлов опорных и балансирующих – соответствующие строки и столбцы матрицы исключаются;
3. Если узлы не связаны непосредственно – соответствующие произ-водные в матрице равны нулю.
Матрицу Якоби можно разбить на четыре блока :
1) - производные от уравнений небаланса активной мощности (20) по углам напряжений;
2) - производные от уравнений небаланса активной мощности по модулям напряжений;
3) - производные от уравнений небаланса реактивной мощности (20) по углам напряжений;
4) - производные от уравнений небаланса реактивной мощности по модулям напряжений.
Это матрицы-клетки частных производных небалансов активной и реактив-ной мощностей по неизвестным углам и модулям напряжений. В общем случае, это квадратные матрицы размерностью n×n.
С учетом этого, матрица Якоби может быть представлена в виде блочной мат-рицы:
Где 
субвектора неизвестных величин.
С учетом этого,Тогда линеаризованную систему уравнений (22) можно запи-сать в ви-де:
. (25)
Решая эту линейную систему уравнений (любым известным методом) на
кКаждой итерации метода, находим поправки к неизвестным , а затем и
очередные приближения неизвестных:
(26)
Очередное приближение неизвестных можно, также, получить с использо-ванием итерационной формулы метода Ньютона-Рафсона, аналогичной (15):
- 
· (27)
Тут требуется обращение матрицы Якоби на каждой итерации – громоздкая вычислительная операция.
Алгоритм решения систем уравнений установившегося режима методом Ньютона - Рафсона
1. Задание начальных значений неизвестных напряжений . В ка-честве начальных приближений принимаем: , т.е. номинальные напряжения узлов;
2. Задание условий расчета: точность ε , предельное количество итера-ций , ускоряющие коэффициенты и др.
3. Определение невязок уравнений в соответствии с уравнениями (20) при очередных приближениях неизвестных;
4. Определение элементов матрицы Якоби в соответствии с (24) при очередных приближениях неизвестных;
5. Решение линеаризованной системы уравнений (25) и определение поправок к неизвестным ;
6. Определение очередных приближений неизвестных в соответствии с (26);
7. Проверка завершения итерационного процесса:
Значения невязок уравнений для всех узлов должны быть меньше задан-ной точности.
Если условие не выполняется, то возврат к пункту 3 и повторение рас-чета при новых приближениях неизвестных.
Существует ряд модификаций метода Ньютона-Рафсона. В том числе:
1. Модифицированный метод Ньютона-Рафсона.
Матрицу Якоби рассчитывают один раз при начальных значениях неизвест-ных. На последующих итерациях она принимается постоянной . Это значи-тельно сокращает объем вычислений на каждой итерации, но увеличивает ко-личество итераций.
2. Разделенный метод Ньютона-Рафсона.
Производные вида очень малы и их значениями можно прине-бречь. В результате, в матрице Якоби остаются два блока - 1-й и 4-й, и сис-тема (25), состоящая из уравнений, распадается на две независимые сис-темы размерностью . Каждая из этих систем решается отдельно от другой. Это приводит к сокращению объема вычислений и необходимой памяти ЭВМ.
Федеральное агентство по образованию
Сочинский государственный университет туризма и курортного дела
Факультет информационных технологий и математики
Кафедра общей математики
Курсовая работа по дисциплине
«Численные методы»
«Метод Ньютона и его модификации решения систем нелинейных уравнений»
Выполнила:
студентка 3 курса
группы 06-ИНФ
Лавренко М.В.
Проверил:
доцент, кандидат
педагогических наук
В связи с развитием новой вычислительной техники инженерная практика наших дней все чаще и чаще встречается с математическими задачами, точное решение которых получить весьма сложно или невозможно. В этих случаях обычно прибегают к тем или иным приближенным вычислениям. Вот почему приближенные и численные методы математического анализа получили за последние годы широкое развитие и приобрели исключительно важное значение.
В данной курсовой работе рассматривается знаменитый метод Ньютона и его модификация решения систем нелинейных уравнений. Решение систем нелинейных уравнений – одна из трудных задач вычислительной математики. Трудность состоит в том, чтобы определить: имеет ли система решение, и, если – да, то сколько. Изучается сходимость основного и упрощенного методов Ньютона и метода, получаемого из метода Ньютона применением итерационного процесса для приближенного обращения матриц Якоби.
А так же коротко описываются: методы ложного положения, метод секущих, метод Стеффенсена, который чаще оказывается лучшим выбором для решения систем нелинейных уравнений нежели метод секущих или метод ложного положения.
Знаменитый метод Ньютона является одним из наиболее эффективных методов решения самых разных нелинейных задач. Расчётную формулу метода можно получить, используя различные подходы. Рассмотрим два из них.
1) Метод касательных.
Выведем расчётную формулу метода для решения нелинейного уравнения
из простых геометрических соображений. Пусть - заданное начальное приближение к корню . В точке с координатами проведём касательную к графику функции и за новое приближение примем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью . Аналогично за приближение примем абсциссу точки пересечения с осью касательной, проведённой к графику в точке с координатами . Продолжая этот процесс далее, получим последовательность
приближённой к корню .
Уравнение касательной, проведённой к графику функции
в точке имеет вид: . (1.1)Полагая в равенстве (1.1)
, замечаем, что при выполнении условия абсцисса точки пересечения касательной с осью удовлетворяет равенству: . (1.2)Выражая из него
, получаем расчётную формулу метода Ньютона :
, . (1.3)
Благодаря такой геометрической интерпретации этот метод часто называют методом касательных .
Пусть требуется решить систему уравнений
(1)
- заданные, нелинейные (среди них могут быть и линейные)
вещественнозначные функции п вещественных переменных
. Обозначив ,
, данную систему (2.1) можно записать одним уравнением
(2)относительно векторной функции F векторного аргумента х. Таким образом, исходную задачу можно рассматривать как задачу о нулях нелинейного отображения
В этой постановке она является прямым обобщением основной задачи предыдущей главы - задачи построения методов нахождения нулей одномерных нелинейных отображений. Фактически это та же задача, только в пространствах большей размерности. Поэтому можно как заново строить методы ее решения на основе разработанных выше подходов, так и осуществлять формальный перенос выведенных для скалярного случая расчетных формул. В любом случае следует позаботиться о правомочности тех или иных операций над векторными переменными и векторными функциями, а также о сходимости получаемых таким способом итерационных процессов. Часто теоремы сходимости для этих процессов являются тривиальными обобщениями соответствующих результатов, полученных для методов решения скалярных уравнений. Однако не все результаты и не все методы можно перенести со случая п = 1 на случай п ≥2. Например, здесь уже не будут работать методы дихотомии, поскольку множество векторов не упорядочено. В то же время, переход от n = 1 до n ≥ 2 вносит в задачу нахождения нулей нелинейного отображения свою специфику, учет которой приводит к новым методам и к различным модификациям уже имеющихся. В частности, большая вариативность методов решения нелинейных систем связана с разнообразием способов, которыми можно решать линейные алгебраические задачи, возникающие при пошаговой линеаризации данной нелинейной вектор-функции F ( x ).2) Метод линеаризации.
