Матрица $A^{-1}$ называется обратной по отношению к квадратной матрице $A$, если выполнено условие $A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=E$, где $E$ – единичная матрица, порядок которой равен порядку матрицы $A$.
Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю. Соответственно, вырожденная матрица – та, у которой равен нулю определитель.
Обратная матрица $A^{-1}$ существует тогда и только тогда, когда матрица $A$ – невырожденная. Если обратная матрица $A^{-1}$ существует, то она единственная.
Есть несколько способов нахождения обратной матрицы, и мы рассмотрим два из них. На этой странице будет рассмотрен метод присоединённой матрицы, который полагается стандартным в большинстве курсов высшей математики. Второй способ нахождения обратной матрицы (метод элементарных преобразований), который предполагает использование метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана, рассмотрен во второй части .
Пусть задана матрица $A_{n\times n}$. Для того, чтобы найти обратную матрицу $A^{-1}$, требуется осуществить три шага:
Матрицу ${A^{*}}^T$ часто именуют присоединённой (взаимной, союзной) к матрице $A$.
Если решение происходит вручную, то первый способ хорош лишь для матриц сравнительно небольших порядков: второго (), третьего (), четвертого (). Чтобы найти обратную матрицу для матрицы высшего порядка, используются иные методы. Например, метод Гаусса, который рассмотрен во второй части .
Пример №1
Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin{array} {cccc} 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & -1 & -9 & 0 \end{array} \right)$.
Так как все элементы четвёртого столбца равны нулю, то $\Delta A=0$ (т.е. матрица $A$ является вырожденной). Так как $\Delta A=0$, то обратной матрицы к матрице $A$ не существует.
Пример №2
Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin{array} {cc} -5 & 7 \\ 9 & 8 \end{array}\right)$.
Используем метод присоединённой матрицы. Сначала найдем определитель заданной матрицы $A$:
$$ \Delta A=\left| \begin{array} {cc} -5 & 7\\ 9 & 8 \end{array}\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Так как $\Delta A \neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения
\begin{aligned} & A_{11}=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_{12}=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_{21}=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_{22}=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end{aligned}
Составляем матрицу из алгебраических дополнений: $A^{*}=\left(\begin{array} {cc} 8 & -9\\ -7 & -5 \end{array}\right)$.
Транспонируем полученную матрицу: ${A^{*}}^T=\left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)$ (полученная матрица часто именуется присоединённой или союзной матрицей к матрице $A$). Используя формулу $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$, имеем:
$$ A^{-1}=\frac{1}{-103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right) $$
Итак, обратная матрица найдена: $A^{-1}=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^{-1}\cdot A=E$ или $A\cdot A^{-1}=E$. Проверим выполнение равенства $A^{-1}\cdot A=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^{-1}$ не в форме $\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$, а в виде $-\frac{1}{103}\cdot \left(\begin{array} {cc} 8 & -7\\ -9 & -5 \end{array}\right)$:
Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {cc} -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end{array}\right)$.
Пример №3
Найти обратную матрицу для матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end{array} \right)$.
Начнём с вычисления определителя матрицы $A$. Итак, определитель матрицы $A$ таков:
$$ \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end{array} \right| = 18-36+56-12=26. $$
Так как $\Delta A\neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:
Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:
$$ A^*=\left(\begin{array} {ccc} 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end{array} \right); \; {A^*}^T=\left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right) $$
Используя формулу $A^{-1}=\frac{1}{\Delta A}\cdot {A^{*}}^T$, получим:
$$ A^{-1}=\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right) $$
Итак, $A^{-1}=\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^{-1}\cdot A=E$ или $A\cdot A^{-1}=E$. Проверим выполнение равенства $A\cdot A^{-1}=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^{-1}$ не в форме $\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$, а в виде $\frac{1}{26}\cdot \left(\begin{array} {ccc} 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end{array} \right)$:
Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^{-1}$ найдена верно.
Ответ : $A^{-1}=\left(\begin{array} {ccc} 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end{array} \right)$.
Пример №4
Найти матрицу, обратную матрице $A=\left(\begin{array} {cccc} 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end{array} \right)$.
Для матрицы четвёртого порядка нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений несколько затруднительно. Однако такие примеры в контрольных работах встречаются.
Чтобы найти обратную матрицу, для начала нужно вычислить определитель матрицы $A$. Лучше всего в данной ситуации это сделать с помощью разложения определителя по строке (столбцу) . Выбираем любую строку или столбец и находим алгебраические дополнения каждого элемента избранной строки или столбца.
Похожие на обратные по многим свойствам.
1 / 5
✪ Как находить обратную матрицу - bezbotvy
✪ Обратная матрица (2 способа нахождения)
✪ Обратная матрица #1
✪ 2015-01-28. Обратная матрица 3x3
✪ 2015-01-27. Обратная матрица 2х2
Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:
Возьмём две матрицы: саму A и единичную E . Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса-Жордана применяя преобразования по строкам (можно также применять преобразования и по столбцам, но не в перемешку). После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A −1 .
При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λ i {\displaystyle \Lambda _{i}} (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):
Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 {\displaystyle \Lambda _{1}\cdot \dots \cdot \Lambda _{n}\cdot A=\Lambda A=E\Rightarrow \Lambda =A^{-1}} . Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] {\displaystyle \Lambda _{m}={\begin{bmatrix}1&\dots &0&-a_{1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_{m-1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_{m+1m}/a_{mm}&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_{nm}/a_{mm}&0&\dots &1\end{bmatrix}}} .Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ {\displaystyle \Lambda } , то есть будет искомой. Сложность алгоритма - O (n 3) {\displaystyle O(n^{3})} .
Матрица, обратная матрице A {\displaystyle A} , представима в виде
A − 1 = adj (A) det (A) {\displaystyle {A}^{-1}={{{\mbox{adj}}(A)} \over {\det(A)}}}
где adj (A) {\displaystyle {\mbox{adj}}(A)} - присоединенная матрица ;
Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O det и равна O(n²)·O det .
Матричное уравнение A X = I n {\displaystyle AX=I_{n}} для обратной матрицы X {\displaystyle X} можно рассматривать как совокупность n {\displaystyle n} систем вида A x = b {\displaystyle Ax=b} . Обозначим i {\displaystyle i} -ый столбец матрицы X {\displaystyle X} через X i {\displaystyle X_{i}} ; тогда A X i = e i {\displaystyle AX_{i}=e_{i}} , i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} ,поскольку i {\displaystyle i} -м столбцом матрицы I n {\displaystyle I_{n}} является единичный вектор e i {\displaystyle e_{i}} . другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³) .
Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение P A = L U {\displaystyle PA=LU} . Пусть P A = B {\displaystyle PA=B} , B − 1 = D {\displaystyle B^{-1}=D} . Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: D = U − 1 L − 1 {\displaystyle D=U^{-1}L^{-1}} . Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида U D = L − 1 {\displaystyle UD=L^{-1}} и D L = U − 1 {\displaystyle DL=U^{-1}} . Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для n (n + 1) 2 {\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}} из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для n (n − 1) 2 {\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}} из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить все n² элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. получаем равенство A − 1 = D P {\displaystyle A^{-1}=DP} .
В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.
Сложность алгоритма - O(n³).
{ Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i {\displaystyle {\begin{cases}\Psi _{k}=E-AU_{k},\\U_{k+1}=U_{k}\sum _{i=0}^{n}\Psi _{k}^{i}\end{cases}}}
Проблема выбора начального приближения в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору U 0 {\displaystyle U_{0}} , обеспечивающие выполнение условия ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы A A T {\displaystyle AA^{T}} (а именно, если A - симметричная положительно определённая матрица и ρ (A) ≤ β {\displaystyle \rho (A)\leq \beta } , то можно взять U 0 = α E {\displaystyle U_{0}={\alpha }E} , где ; если же A - произвольная невырожденная матрица и ρ (A A T) ≤ β {\displaystyle \rho (AA^{T})\leq \beta } , то полагают U 0 = α A T {\displaystyle U_{0}={\alpha }A^{T}} , где также α ∈ (0 , 2 β) {\displaystyle \alpha \in \left(0,{\frac {2}{\beta }}\right)} ; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что ρ (A A T) ≤ k A A T k {\displaystyle \rho (AA^{T})\leq {\mathcal {k}}AA^{T}{\mathcal {k}}} , положить U 0 = A T ‖ A A T ‖ {\displaystyle U_{0}={\frac {A^{T}}{\|AA^{T}\|}}} ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что ‖ Ψ 0 ‖ {\displaystyle \|\Psi _{0}\|} будет малой (возможно, даже окажется ‖ Ψ 0 ‖ > 1 {\displaystyle \|\Psi _{0}\|>1} ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.
Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что a d − b c = det A ≠ 0 {\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0} .
Определение 1: матрица называется вырожденной, если её определитель равен нулю.
Определение 2: матрица называется невырожденной, если её определитель не равен нулю.
Матрица "A" называется обратной матрицей , если выполняется условие A*A-1 = A-1 *A = E (единичной матрице).
Квадратная матрица обратима только в том случае, когда она является невырожденной.
Схема вычисления обратной матрицы:
1) Вычислить определитель матрицы "A", если ∆ A = 0, то обратной матрицы не существует.
2) Найти все алгебраические дополнения матрицы "A".
3) Составить матрицу из алгебраических дополнений (Aij )
4) Транспонировать матрицу из алгебраических дополнений (Aij )T
5) Умножить транспонированную матрицу на число, обратное определителю данной матрицы.
6) Выполнить проверку:
На первый взгляд может показаться, что это сложно, но на самом деле всё очень просто. Все решения основаны на простых арифметических действиях, главное при решении не путаться со знаками "-" и "+", и не терять их.
А теперь давайте вместе с Вами решим практическое задание, вычислив обратную матрицу.
Задание: найти обратную матрицу "A", представленную на картинке ниже:
1. Первое, что нужно сделать, это найти определитель матрицы "A":
Пояснение:
Мы упростили наш определитель, воспользовавшись его основными функциями. Во первых, мы прибавили ко 2 и 3 строке элементы первой строки, умноженные на одно число.
Во-вторых, мы поменяли 2 и 3 столбец определителя, и по его свойствам поменяли знак перед ним.
В-третьих, мы вынесли общий множитель (-1) второй строки, тем самым, снова поменяв знак, и он стал положительным. Также мы упростили 3 строку также, как в самом начале примера.
У нас получилась треугольный определитель, у которого элементы ниже диагонали равны нулю, и по 7 свойству он равен произведению элементов диагонали. В итоге мы получили ∆ A = 26, следовательно обратная матрица существует.
А11 = 1*(3+1) = 4
А12 = -1*(9+2) = -11
А13 = 1*1 = 1
А21 = -1*(-6) = 6
А22 = 1*(3-0) = 3
А23 = -1*(1+4) = -5
А31 = 1*2 = 2
А32 = -1*(-1) = -1
А33 = 1+(1+6) = 7
3. Следующий шаг - составление матрицы из получившихся дополнений:
5. Умножаем эту матрицу на число, обратное определителю, то есть на 1/26:
6. Ну а теперь нам просто нужно выполнить проверку:
В ходе проверки мы получили единичную матрицу, следовательно, решение было выполнено абсолютно верно.
2 способ вычисления обратной матрицы.
1. Элементарное преобразование матриц
2. Обратная матрица через элементарный преобразователь.
Элементарное преобразование матриц включает:
1. Умножение строки на число, не равное нулю.
2. Прибавление к любой строке другой строки, умноженной на число.
3. Перемена местами строк матрицы.
4. Применяя цепочку элементарных преобразований, получаем другую матрицу.
А-1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A-1 )
2. A-1 * A = E
Рассмотрим это на практическом примере с действительными числами.
Задание: Найти обратную матрицу.
Решение:
Выполним проверку:
Небольшое разъяснение по решению:
Сперва мы переставили 1 и 2 строку матрицы, затем умножили первую строку на (-1).
После этого умножили первую строку на (-2) и сложили со второй строкой матрицы. После чего умножили 2 строку на 1/4.
Заключительным этапом преобразований стало умножение второй строки на 2 и прибавлением с первой. В результате слева у нас получилась единичная матрица, следовательно, обратная матрица - это матрица справа.
После проверки мы убедились в правильности решения.
Как вы видите, вычисление обратной матрицы - это очень просто.
В заключении данной лекции хотелось бы также уделить немного времени свойствам такой матрицы.
Нахождение обратной матрицы.
В этой статье разберемся с понятием обратной матрицы, ее свойствами и способами нахождения. Подробно остановимся на решении примеров, в которых требуется построить обратную матрицу для заданной.
Навигация по странице.
Обратная матрица - определение.
Нахождение обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений.
Свойства обратной матрицы.
Нахождение обратной матрицы методом Гаусса-Жордана.
Нахождение элементов обратной матрицы с помощью решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений.
Обратная матрица - определение.
Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля, то есть для невырожденных квадратных матриц.
Определение.
Матрица
называется
обратной для матрицы
,
определитель которой отличен от нуля ,
если справедливы равенства ,
где E
–
единичная матрица порядка n
на n
.
Нахождение обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений.
Как же находить обратную матрицу для данной?
Во-первых, нам потребуются понятия транспонированной матрицы , минора матрицы и алгебраического дополнения элемента матрицы.
Определение.
Минор k-ого порядка матрицы A порядка m на n – это определитель матрицы порядка k на k , которая получается из элементов матрицы А , находящихся в выбранныхk строках и k столбцах. (k не превосходит наименьшего из чисел m или n ).
Минор (n-1)-ого порядка, который составляется из элементов всех строк, кроме i-ой , и всех столбцов, кроме j-ого , квадратной матрицы А порядка n на n обозначим как .
Иными словами, минор получается из квадратной матрицы А порядка n на n вычеркиванием элементов i-ой строки и j-ого столбца.
Для
примера запишем, минор 2-ого
порядка,
который получаетсся из матрицы выбором
элементов ее второй, третьей строк и
первого, третьего столбцов
.
Также покажем минор, который получается
из матрицы
вычеркиванием
второй строки и третьего столбца
.
Проиллюстрируем построение этих
миноров: и .
Определение.
Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называют минор (n-1)-ого порядка, который получается из матрицы А , вычеркиванием элементов ее i-ой строки и j-ого столбца, умноженный на .
Алгебраическое
дополнение элемента обозначается
как .
Таким обрзом, .
Например,
для матрицы алгебраическое
дополнение элемента есть .
Во-вторых, нам пригодятся два свойства определителя, которые мы разобрали в разделевычисление определителя матрицы :
На
основании этих свойств определителя,
определения операции
умножения матрицы на число
и
понятия обратной матрицы справедливо
равенство ,
где -
транспонированная матрица, элементами
которой являются алгебраические
дополнения .
Матрица действительно
является обратной для матрицы А
,
так как выполняются равенства
.
Покажем это
Составим алгоритм
нахождения обратной матрицы
с
использованием равенства .
Разберем алгоритм нахождения обратной матрицы на примере.
Пример.
Дана
матрица .
Найдите обратную матрицу.
Решение.
Вычислим
определитель матрицы А
,
разложив его по элементам третьего
столбца:
Определитель отличен от нуля, так что матрица А обратима.
Найдем
матрицу из алгебраических дополнений:
Поэтому
Выполним
транспонирование матрицы из алгебраических
дополнений:
Теперь
находим обратную матрицу как :
Проверяем
полученный результат:
Равенства выполняются,
следовательно, обратная матрица найдена
верно.
Свойства обратной матрицы.
Понятие
обратной матрицы, равенство ,
определения операций над матрицами и
свойства определителя матрицы позволяют
обосновать следующие свойства
обратной матрицы
:
Нахождение элементов обратной матрицы с помощью решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений.
Рассмотрим еще один способ нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы А порядка n на n .
Этот метод основан на решении n систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с n неизвестными. Неизвестными переменными в этих системах уравнений являются элементы обратной матрицы.
Идея
очень проста. Обозначим обратную матрицу
как X
,
то есть, .
Так как по определению обратной матрицы ,
то
Приравнивая
соответствующие элементы по столбцам,
получим n
систем
линейных уравнений
Решаем их любым способом и из найденных значений составляем обратную матрицу.
Разберем этот метод на примере.
Пример.
Дана
матрица .
Найдите обратную матрицу.
Решение.
Примем .
Равенство дает
нам три системы линейных неоднородных
алгебраических уравнений:
Не будем расписывать решение этих систем, при необходимости обращайтесь к разделурешение систем линейных алгебраических уравнений .
Из первой системы уравнений имеем ,
из второй - ,
из третьей - .
Следовательно, искомая обратная матрица
имеет вид .
Рекомендуем сделать проверку, чтобы
убедиться в правильности результата.
Подведем итог.
Мы рассмотрели понятие обратной матрицы, ее свойства и три метода ее нахождения.
Пример решений методом обратной матрицы
Задание 1. Решить СЛАУ методом обратной матрицы. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4
Начало формы
Конец формы
Решение . Запишем матрицу в виде: Вектор B: B T = (1,2,3,4) Главный определитель Минор для (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2)+4 (3 2-6 2) = -3 Минор для (2,1): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Минор для (3,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Минор для (4,1): = 3 (3 2-6 2)-5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Определитель минора ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3
Транспонированная
матрица
Алгебраические
дополнения
∆ 1,1 =
5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3
∆ 1,2 =
-3 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0
∆ 1,3 =
3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4) = 3
∆ 1,4 =
-3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3
∆ 2,1 =
-3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9
∆ 2,2 =
2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-6 4) = 0
∆ 2,3 =
-2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6
∆ 2,4 =
2 (3 2-2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3
∆ 3,1 =
3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4-7 4) = -4
∆ 3,2 =
-2 (7 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1
∆ 3,3 =
2 (5 1-2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1
∆ 3,4 =
-2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 (3 7-5 5) = 0
∆ 4,1 =
-3 (7 3-6 4)-5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) =
-12
∆ 4,2 =
2 (7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3
∆ 4,3 =
-2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4)+3 (3 4-5 4) = 9
∆ 4,4 =
2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3
Обратная
матрица
Вектор
результатов X
X
= A -1 ∙
B
X T =
(2,-1,-0.33,1)
x 1 =
2
x 2 =
-1
x 3 =
-0.33
x 4 =
1
см. также решений СЛАУ методом обратной матрицы online. Для этого введите свои данные и получите решение с подробными комментариями.
Задание 2 . Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы. Сделать проверку полученного решения. Решение :xml :xls
Пример 2 . Записать систему уравнений в матричной форме и решить с помощью обратной матрицы. Решение :xml :xls
Пример . Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти ее решение с помощью формул Крамера ; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления. Методические рекомендации . После решения методом Крамера, найдите кнопку "Решение методом обратной матрицы для исходных данных". Вы получите соответствующее решение. Таким образом, данные вновь заполнять не придется. Решение . Обозначим через А - матрицу коэффициентов при неизвестных; X - матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
|
Вектор B: B T =(4,-3,-3) С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. Если матрица А - невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А -1 . Умножив обе части уравнения на А -1 , получим: А -1 *А*Х = А -1 *B, А -1 *А=Е. Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений . Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А -1 . Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем главный определитель. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Итак, определитель 14 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. Пусть имеем невырожденную матрицу А:
|
Вычисляем алгебраические дополнения.
|
∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1
|
∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3
|
∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3
|
∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5
|
∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1
|
∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1
|
∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7
|
∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7
|
|
|
X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 =-1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Проверка . -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc :xml :xls Ответ: -1,1,2.
Эта тема является одной из самых ненавистных среди студентов. Хуже, наверное, только определители.
Фишка в том, что само понятие обратного элемента (и я сейчас не только о матрицах) отсылает нас к операции умножения. Даже в школьной программе умножение считается сложной операцией, а уж умножение матриц — вообще отдельная тема, которой у меня посвящён целый параграф и видеоурок.
Сегодня мы не будем вдаваться в подробности матричных вычислений. Просто вспомним: как обозначаются матрицы, как они умножаются и что из этого следует.
Прежде всего договоримся об обозначениях. Матрицей $A$ размера $\left[ m\times n \right]$ называется просто таблица из чисел, в которой ровно $m$ строк и $n$ столбцов:
\=\underbrace{\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & ... & {{a}_{1n}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & ... & {{a}_{2n}} \\ ... & ... & ... & ... \\ {{a}_{m1}} & {{a}_{m2}} & ... & {{a}_{mn}} \\\end{matrix} \right]}_{n}\]
Чтобы случайно не перепутать строки и столбцы местами (поверьте, на экзамене можно и единицу с двойкой перепутать — что уж говорить про какие-то там строки), просто взгляните на картинку:
Что происходит? Если разместить стандартную систему координат $OXY$ в левом верхнем углу и направить оси так, чтобы они охватывали всю матрицу, то каждой клетке этой матрицы можно однозначно сопоставить координаты $\left(x;y \right)$ — это и будет номер строки и номер столбца.
Почему система координат размещена именно в левом верхнем углу? Да потому что именно оттуда мы начинаем читать любые тексты. Это очень просто запомнить.
А почему ось $x$ направлена именно вниз, а не вправо? Опять всё просто: возьмите стандартную систему координат (ось $x$ идёт вправо, ось $y$ — вверх) и поверните её так, чтобы она охватывала матрицу. Это поворот на 90 градусов по часовой стрелке — его результат мы и видим на картинке.
В общем, как определять индексы у элементов матрицы, мы разобрались. Теперь давайте разберёмся с умножением.
Определение. Матрицы $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, когда количество столбцов в первой совпадает с количеством строк во второй, называются согласованными.
Именно в таком порядке. Можно сумничать и сказать, мол, матрицы $A$ и $B$ образуют упорядоченную пару $\left(A;B \right)$: если они согласованы в таком порядке, то совершенно необязательно, что $B$ и $A$, т.е. пара $\left(B;A \right)$ — тоже согласована.
Умножать можно только согласованные матрицы.
Определение. Произведение согласованных матриц $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$ — это новая матрица $C=\left[ m\times k \right]$, элементы которой ${{c}_{ij}}$ считаются по формуле:
\[{{c}_{ij}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{a}_{ik}}}\cdot {{b}_{kj}}\]
Другими словами: чтобы получить элемент ${{c}_{ij}}$ матрицы $C=A\cdot B$, нужно взять $i$-строку первой матрицы, $j$-й столбец второй матрицы, а затем попарно перемножить элементы из этой строки и столбца. Результаты сложить.
Да, вот такое суровое определение. Из него сразу следует несколько фактов:
Дистрибутивность умножения пришлось отдельно описывать для левого и правого множителя-суммы как раз из-за некоммутативности операции умножения.
Если всё же получается так, что $A\cdot B=B\cdot A$, такие матрицы называются перестановочными.
Среди всех матриц, которые там на что-то умножаются, есть особые — те, которые при умножении на любую матрицу $A$ снова дают $A$:
Определение. Матрица $E$ называется единичной, если $A\cdot E=A$ или $E\cdot A=A$. В случае с квадратной матрицей $A$ можем записать:
Единичная матрица — частый гость при решении матричных уравнений. И вообще частый гость в мире матриц.:)
А ещё из-за этой $E$ кое-кто придумал всю ту дичь, которая будет написана дальше.
Поскольку умножение матриц — весьма трудоёмкая операция (приходится перемножать кучу строчек и столбцов), то понятие обратной матрицы тоже оказывается не самым тривиальным. И требующим некоторых пояснений.
Что ж, пора познать истину.
Определение. Матрица $B$ называется обратной к матрице $A$ , если
Обратная матрица обозначается через ${{A}^{-1}}$ (не путать со степенью!), поэтому определение можно переписать так:
Казалось бы, всё предельно просто и ясно. Но при анализе такого определения сразу возникает несколько вопросов:
Насчёт алгоритмов вычисления — об этом мы поговорим чуть позже. Но на остальные вопросы ответим прямо сейчас. Оформим их в виде отдельных утверждений-лемм.
Начнём с того, как в принципе должна выглядеть матрица $A$, чтобы для неё существовала ${{A}^{-1}}$. Сейчас мы убедимся в том, что обе эти матрицы должны быть квадратными, причём одного размера: $\left[ n\times n \right]$.
Лемма 1 . Дана матрица $A$ и обратная ей ${{A}^{-1}}$. Тогда обе эти матрицы — квадратные, причём одинакового порядка $n$.
Доказательство. Всё просто. Пусть матрица $A=\left[ m\times n \right]$, ${{A}^{-1}}=\left[ a\times b \right]$. Поскольку произведение $A\cdot {{A}^{-1}}=E$ по определению существует, матрицы $A$ и ${{A}^{-1}}$ согласованы в указанном порядке:
\[\begin{align} & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end{align}\]
Это прямое следствие из алгоритма перемножения матриц: коэффициенты $n$ и $a$ являются «транзитными» и должны быть равны.
Вместе с тем определено и обратное умножение: ${{A}^{-1}}\cdot A=E$, поэтому матрицы ${{A}^{-1}}$ и $A$ тоже согласованы в указанном порядке:
\[\begin{align} & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end{align}\]
Таким образом, без ограничения общности можем считать, что $A=\left[ m\times n \right]$, ${{A}^{-1}}=\left[ n\times m \right]$. Однако согласно определению $A\cdot {{A}^{-1}}={{A}^{-1}}\cdot A$, поэтому размеры матриц строго совпадают:
\[\begin{align} & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end{align}\]
Вот и получается, что все три матрицы — $A$, ${{A}^{-1}}$ и $E$ — являются квадратными размером $\left[ n\times n \right]$. Лемма доказана.
Что ж, уже неплохо. Мы видим, что обратимыми бывают лишь квадратные матрицы. Теперь давайте убедимся, что обратная матрица всегда одна.
Лемма 2 . Дана матрица $A$ и обратная ей ${{A}^{-1}}$. Тогда эта обратная матрица — единственная.
Доказательство. Пойдём от противного: пусть у матрицы $A$ есть хотя бы два экземпляра обратных —$B$ и $C$. Тогда, согласно определению, верны следующие равенства:
\[\begin{align} & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end{align}\]
Из леммы 1 мы заключаем, что все четыре матрицы — $A$, $B$, $C$ и $E$ — являются квадратными одинакового порядка: $\left[ n\times n \right]$. Следовательно, определено произведение:
Поскольку умножение матриц ассоциативно (но не коммутативно!), мы можем записать:
\[\begin{align} & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end{align}\]
Получили единственно возможный вариант: два экземпляра обратной матрицы равны. Лемма доказана.
Приведённые рассуждения почти дословно повторяют доказательство единственность обратного элемента для всех действительных чисел $b\ne 0$. Единственное существенное дополнение — учёт размерности матриц.
Впрочем, мы до сих пор ничего не знаем о том, всякая ли квадратная матрица является обратимой. Тут нам на помощь приходит определитель — это ключевая характеристика для всех квадратных матриц.
Лемма 3 . Дана матрица $A$. Если обратная к ней матрица ${{A}^{-1}}$ существует, то определитель исходной матрицы отличен от нуля:
\[\left| A \right|\ne 0\]
Доказательство. Мы уже знаем, что $A$ и ${{A}^{-1}}$ — квадратные матрицы размера $\left[ n\times n \right]$. Следовательно, для каждой из них можно вычислить определитель: $\left| A \right|$ и $\left| {{A}^{-1}} \right|$. Однако определитель произведения равен произведению определителей:
\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot {{A}^{-1}} \right|=\left| A \right|\cdot \left| {{A}^{-1}} \right|\]
Но согласно определению $A\cdot {{A}^{-1}}=E$, а определитель $E$ всегда равен 1, поэтому
\[\begin{align} & A\cdot {{A}^{-1}}=E; \\ & \left| A\cdot {{A}^{-1}} \right|=\left| E \right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| {{A}^{-1}} \right|=1. \\ \end{align}\]
Произведение двух чисел равно единице только в том случае, когда каждое из этих чисел отлично от нуля:
\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| {{A}^{-1}} \right|\ne 0.\]
Вот и получается, что $\left| A \right|\ne 0$. Лемма доказана.
На самом деле это требование вполне логично. Сейчас мы разберём алгоритм нахождения обратной матрицы — и станет совершенно ясно, почему при нулевом определителе никакой обратной матрицы в принципе не может существовать.
Но для начала сформулируем «вспомогательное» определение:
Определение. Вырожденная матрица — это квадратная матрица размера $\left[ n\times n \right]$, чей определитель равен нулю.
Таким образом, мы можем утверждать, что всякая обратимая матрица является невырожденной.
Сейчас мы рассмотрим универсальный алгоритм нахождения обратных матриц. Вообще, существует два общепринятых алгоритма, и второй мы тоже сегодня рассмотрим.
Тот, который будет рассмотрен сейчас, очень эффективен для матриц размера $\left[ 2\times 2 \right]$ и — частично — размера $\left[ 3\times 3 \right]$. А вот начиная с размера $\left[ 4\times 4 \right]$ его лучше не применять. Почему — сейчас сами всё поймёте.
Готовьтесь. Сейчас будет боль. Нет, не переживайте: к вам не идёт красивая медсестра в юбке, чулках с кружевами и не сделает укол в ягодицу. Всё куда прозаичнее: к вам идут алгебраические дополнения и Её Величество «Союзная Матрица».
Начнём с главного. Пусть имеется квадратная матрица размера $A=\left[ n\times n \right]$, элементы которой именуются ${{a}_{ij}}$. Тогда для каждого такого элемента можно определить алгебраическое дополнение:
Определение. Алгебраическое дополнение ${{A}_{ij}}$ к элементу ${{a}_{ij}}$, стоящего в $i$-й строке и $j$-м столбце матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ — это конструкция вида
\[{{A}_{ij}}={{\left(-1 \right)}^{i+j}}\cdot M_{ij}^{*}\]
Где $M_{ij}^{*}$ — определитель матрицы, полученной из исходной $A$ вычёркиванием той самой $i$-й строки и $j$-го столбца.
Ещё раз. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы с координатами $\left(i;j \right)$ обозначается как ${{A}_{ij}}$ и считается по схеме:
Саму матрицу $M_{ij}^{*}$ называют дополнительным минором к элементу ${{a}_{ij}}$. И в этом смысле приведённое выше определение алгебраического дополнения является частным случаем более сложного определения — того, что мы рассматривали в уроке про определитель.
Важное замечание. Вообще-то во «взрослой» математике алгебраические дополнения определяются так:
- Берём в квадратной матрице $k$ строчек и $k$ столбцов. На их пересечении получится матрица размера $\left[ k\times k \right]$ — её определитель называется минором порядка $k$ и обозначается ${{M}_{k}}$.
- Затем вычёркиваем эти «избранные» $k$ строчек и $k$ столбцов. Снова получится квадратная матрица — её определитель называется дополнительным минором и обозначается $M_{k}^{*}$.
- Умножаем $M_{k}^{*}$ на ${{\left(-1 \right)}^{t}}$, где $t$ — это (вот сейчас внимание!) сумма номеров всех выбранных строчек и столбцов. Это и будет алгебраическое дополнение.
Взгляните на третий шаг: там вообще-то сумма $2k$ слагаемых! Другое дело, что для $k=1$ мы получим лишь 2 слагаемых — это и будут те самые $i+j$ — «координаты» элемента ${{a}_{ij}}$, для которого мы ищем алгебраическое дополнение.
Таким образом сегодня мы используем слегка упрощённое определение. Но как мы увидим в дальнейшем, его окажется более чем достаточно. Куда важнее следующая штука:
Определение. Союзная матрица $S$ к квадратной матрице $A=\left[ n\times n \right]$ — это новая матрица размера $\left[ n\times n \right]$, которая получается из $A$ заменой ${{a}_{ij}}$ алгебраическими дополнениями ${{A}_{ij}}$:
\\Rightarrow S=\left[ \begin{matrix} {{A}_{11}} & {{A}_{12}} & ... & {{A}_{1n}} \\ {{A}_{21}} & {{A}_{22}} & ... & {{A}_{2n}} \\ ... & ... & ... & ... \\ {{A}_{n1}} & {{A}_{n2}} & ... & {{A}_{nn}} \\\end{matrix} \right]\]
Первая мысль, возникающая в момент осознания этого определения — «это сколько же придётся всего считать!» Расслабьтесь: считать придётся, но не так уж и много.:)
Что ж, всё это очень мило, но зачем это нужно? А вот зачем.
Вернёмся немного назад. Помните, в Лемме 3 утверждалось, что обратимая матрица $A$ всегда не вырождена (т.е. её определитель отличен от нуля: $\left| A \right|\ne 0$).
Так вот, верно и обратное: если матрица $A$ не вырождена, то она всегда обратима. И даже существует схема поиска ${{A}^{-1}}$. Зацените:
Теорема об обратной матрице. Пусть дана квадратная матрица $A=\left[ n\times n \right]$, причём её определитель отличен от нуля: $\left| A \right|\ne 0$. Тогда обратная матрица ${{A}^{-1}}$ существует и считается по формуле:
\[{{A}^{-1}}=\frac{1}{\left| A \right|}\cdot {{S}^{T}}\]
А теперь — всё то же самое, но разборчивым почерком. Чтобы найти обратную матрицу, нужно:
И всё! Обратная матрица ${{A}^{-1}}$ найдена. Давайте посмотрим на примеры:
\[\left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end{matrix} \right]\]
Решение. Проверим обратимость. Посчитаем определитель:
\[\left| A \right|=\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end{matrix} \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
Определитель отличен от нуля. Значит, матрица обратима. Составим союзную матрицу:
Посчитаем алгебраические дополнения:
\[\begin{align} & {{A}_{11}}={{\left(-1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & {{A}_{12}}={{\left(-1 \right)}^{1+2}}\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & {{A}_{21}}={{\left(-1 \right)}^{2+1}}\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & {{A}_{22}}={{\left(-1 \right)}^{2+2}}\cdot \left| 3 \right|=3. \\ \end{align}\]
Обратите внимание: определители |2|, |5|, |1| и |3| — это именно определители матриц размера $\left[ 1\times 1 \right]$, а не модули. Т.е. если в определителях стояли отрицательные числа, убирать «минус» не надо.
Итого наша союзная матрица выглядит так:
\[{{A}^{-1}}=\frac{1}{\left| A \right|}\cdot {{S}^{T}}=\frac{1}{1}\cdot {{\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end{array} \right]}^{T}}=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end{array} \right]\]
Ну вот и всё. Задача решена.
Ответ. $\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end{array} \right]$
Задача. Найдите обратную матрицу:
\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\]
Решение. Опять считаем определитель:
\[\begin{align} & \left| \begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end{array} \right|=\begin{matrix} \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left(2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end{matrix}= \\ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end{align}\]
Определитель отличен от нуля — матрица обратима. А вот сейчас будет самая жесть: надо посчитать аж 9 (девять, мать их!) алгебраических дополнений. И каждое из них будет содержать определитель $\left[ 2\times 2 \right]$. Полетели:
\[\begin{matrix} {{A}_{11}}={{\left(-1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right|=2; \\ {{A}_{12}}={{\left(-1 \right)}^{1+2}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end{matrix} \right|=-1; \\ {{A}_{13}}={{\left(-1 \right)}^{1+3}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end{matrix} \right|=-2; \\ ... \\ {{A}_{33}}={{\left(-1 \right)}^{3+3}}\cdot \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end{matrix} \right|=2; \\ \end{matrix}\]
Короче, союзная матрица будет выглядеть так:
Следовательно, обратная матрица будет такой:
\[{{A}^{-1}}=\frac{1}{-1}\cdot \left[ \begin{matrix} 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end{array} \right]\]
Ну и всё. Вот и ответ.
Ответ. $\left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end{array} \right]$
Как видите, в конце каждого примера мы выполняли проверку. В связи с этим важное замечание:
Не ленитесь выполнять проверку. Умножьте исходную матрицу на найденную обратную — должна получиться $E$.
Выполнить эту проверку намного проще и быстрее, чем искать ошибку в дальнейших вычислениях, когда, например, вы решаете матричное уравнение.
Как я и говорил, теорема об обратной матрице прекрасно работает для размеров $\left[ 2\times 2 \right]$ и $\left[ 3\times 3 \right]$ (в последнем случае — уже не так уж и «прекрасно»), а вот для матриц больших размеров начинается прям печаль.
Но не переживайте: есть альтернативный алгоритм, с помощью которого можно невозмутимо найти обратную хоть для матрицы $\left[ 10\times 10 \right]$. Но, как это часто бывает, для рассмотрения этого алгоритма нам потребуется небольшая теоретическая вводная.
Среди всевозможных преобразований матрицы есть несколько особых — их называют элементарными. Таких преобразований ровно три:
Почему эти преобразования называются элементарными (для больших матриц они выглядят не такими уж элементарными) и почему их только три — эти вопросы выходят за рамки сегодняшнего урока. Поэтому не будем вдаваться в подробности.
Важно другое: все эти извращения нам предстоит выполнять над присоединённой матрицей. Да, да: вы не ослышались. Сейчас будет ещё одно определение — последнее в сегодняшнем уроке.
Наверняка в школе вы решали системы уравнений методом сложения. Ну, там, вычесть из одной строки другую, умножить какую-то строку на число — вот это вот всё.
Так вот: сейчас будет всё то же, но уже «по-взрослому». Готовы?
Определение. Пусть дана матрица $A=\left[ n\times n \right]$ и единичная матрица $E$ такого же размера $n$. Тогда присоединённая матрица $\left[ A\left| E \right. \right]$ — это новая матрица размера $\left[ n\times 2n \right]$, которая выглядит так:
\[\left[ A\left| E \right. \right]=\left[ \begin{array}{rrrr|rrrr}{{a}_{11}} & {{a}_{12}} & ... & {{a}_{1n}} & 1 & 0 & ... & 0 \\{{a}_{21}} & {{a}_{22}} & ... & {{a}_{2n}} & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\{{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & ... & {{a}_{nn}} & 0 & 0 & ... & 1 \\\end{array} \right]\]
Короче говоря, берём матрицу $A$, справа приписываем к ней единичную матрицу $E$ нужного размера, разделяем их вертикальной чертой для красоты — вот вам и присоединённая.:)
В чём прикол? А вот в чём:
Теорема. Пусть матрица $A$ обратима. Рассмотрим присоединённую матрицу $\left[ A\left| E \right. \right]$. Если с помощью элементарных преобразований строк привести её к виду $\left[ E\left| B \right. \right]$, т.е. путём умножения, вычитания и перестановки строк получить из $A$ матрицу $E$ справа, то полученная слева матрица $B$ — это обратная к $A$:
\[\left[ A\left| E \right. \right]\to \left[ E\left| B \right. \right]\Rightarrow B={{A}^{-1}}\]
Вот так всё просто! Короче говоря, алгоритм нахождения обратной матрицы выглядит так:
Конечно, сказать намного проще, чем сделать. Поэтому давайте рассмотрим парочку примеров: для размеров $\left[ 3\times 3 \right]$ и $\left[ 4\times 4 \right]$.
Задача. Найдите обратную матрицу:
\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\]
Решение. Составляем присоединённую матрицу:
\[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\]
Поскольку последний столбец исходной матрицы заполнен единицами, вычтем первую строку из остальных:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Больше единиц нет, кроме первой строки. Но её мы не трогаем, иначе в третьем столбце начнут «размножаться» только что убранные единицы.
Зато можем вычесть вторую строку дважды из последней — получим единицу в левом нижнем углу:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end{matrix}\to \\ & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Теперь можно вычесть последнюю строку из первой и дважды из второй — таким образом мы «занулим» первый столбец:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Умножим вторую строку на −1, а затем вычтем её 6 раз из первой и прибавим 1 раз к последней:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Осталось лишь поменять местами строки 1 и 3:
\[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\\end{array} \right]\]
Готово! Справа — искомая обратная матрица.
Ответ. $\left[ \begin{array}{*{35}{r}}4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end{array} \right]$
Задача. Найдите обратную матрицу:
\[\left[ \begin{matrix} 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end{matrix} \right]\]
Решение. Снова составляем присоединённую:
\[\left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\]
Немного позалимаем, попечалимся от того, сколько сейчас придётся считать... и начнём считать. Для начала «обнулим» первый столбец, вычитая строку 1 из строк 2 и 3:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Наблюдаем слишком много «минусов» в строках 2—4. Умножим все три строки на −1, а затем «выжжем» третий столбец, вычитая строку 3 из остальных:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Теперь самое время «поджарить» последний столбец исходной матрицы: вычитаем строку 4 из остальных:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
Финальный бросок: «выжигаем» второй столбец, вычитая строку 2 из строки 1 и 3:
\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]
И снова слева единичная матрица, значит справа — обратная.:)
Ответ. $\left[ \begin{matrix} 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{matrix} \right]$