При решении геометрических задач полезно следовать такому алгоритму. Во время чтения условия задачи необходимо
Например, если в задаче встречается слова биссектриса угла треугольника, нужно вспомнить определение и свойства биссектрисы и обозначить на чертеже равные или пропорциональные отрезки и углы.
В этой статье вы найдете основные свойства треугольника, которые необходимо знать для успешного решения задач.
1. ,
здесь - произвольная сторона треугольника, - высота, опущенная на эту сторону.
2.
,
здесь и - произвольные стороны треугольника, - угол между этими сторонами:
3. Формула Герона:
Здесь - длины сторон треугольника, - полупериметр треугольника,
4. ,
здесь - полупериметр треугольника, - радиус вписанной окружности.
Пусть - длины отрезков касательных.
Тогда формулу Герона можно записать в таком виде:
5.
6. ,
здесь - длины сторон треугольника, - радиус описанной окружности.
Если на стороне треугольника взята точка, которая делит эту сторону в отношении m:n, то отрезок, соединяющий эту точку с вершиной противолежащего угла делит треугольник на два треугольника, площади которых относятся как m:n:
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.
Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший - радиусу описанной окружности.
Радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: R=2r
Длина медианы произвольного треугольника
,
здесь - медиана, проведенная к стороне , - длины сторон треугольника.
Это отрезок биссектрисы любого угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с противоположной стороной.
Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла.
Это отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону, или ее продолжение. В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла лежит вне треугольника.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.
Чтобы найти высоту треугольника , проведенную к стороне , нужно любым доступным способом найти его площадь, а затем воспользоваться формулой:
Центр окружности, описанной около треугольника , лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.
Радиус описанной окружности треугольника можно найти по таким формулам:
Здесь - длины сторон треугольника, - площадь треугольника.
,
где - длина стороны треугольника, - противолежащий угол. (Эта формула вытекает из теоремы синусов).
Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других.
Сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны:
Напротив большей стороны лежит больший угол; напротив большего угла лежит большая сторона:
Если , то и наоборот.
стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
Теорема косинусов:
квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:
- это треугольник, один из углов которого равен 90°.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Гипотенуза - это сторона, которая лежит против угла 90°. Гипотенуза является наибольшей стороной.
Теорема Пифагора:
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
: 
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен
,
здесь - радиус вписанной окружности, - катеты, - гипотенуза:
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы:
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе , равна половине гипотенузы.
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса прямоугольного треугольника смотрите
Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:
Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета на гипотенузу:
Катет, лежащий против угла равен половине гипотенузы:
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию является медианой и высотой.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Угол при вершине.
И - боковые стороны,
И - углы при основании.
Высота, биссектриса и медиана.
Внимание! Высота, биссектриса и медиана, проведенные к боковой стороне не совпадают.
(или равносторонний треугольник ) - это треугольник, все стороны и углы которого равны между собой.
Площадь правильного треугольника равна
где - длина стороны треугольника.
Центр окружности, вписанной в правильный треугольник , совпадает с центром окружности, описанной около правильного треугольника и лежит в точке пересечения медиан.
Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший - радиусу описанной окружности.
Если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник правильный.
Это отрезок, соединяющий середины двух сторон.
На рисунке DE - средняя линия треугольника ABC.
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине: DE||AC, AC=2DE
Это угол, смежный какому либо углу треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
Тригонометрические функции внешнего угла:
1 . Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2 . Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3 Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Важно: поскольку в прямоугольном треугольнике два угла заведомо равны, то для равенства двух прямоугольных треугольников требуется равенство всего двух элементов: двух сторон, или стороны и острого угла.
1 . Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами равны, то эти треугольники подобны.
2 . Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.
3 . Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.
Важно: в подобных треугольниках сходственные стороны лежат против равных углов.
Пусть прямая пересекает треугольник , причем – точка ее пересечения со стороной , – точка ее пересечения со стороной , и – точка ее пересечения с продолжением стороны . Тогда
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Свойство: 1. В любом прямоугольном треугольнике, высота, опущенная из прямого угла(на гипотенузу), делит прямоугольный треугольник, на три подобных треугольника.
Свойство: 2. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу(или среднему геометрическому тех отрезков на которые высота разбивает гипотенузу).
Свойство: 3. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
Свойство: 4. Катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
Формула 1.
Формула 2. , где гипотенуза; , катеты.
Свойство: 5. В прямоугольном треугольнике медиана проведенная к гипотенузе, равна ее половине и равна радиусу описанной окружности.
Свойство: 6. Зависимость между сторонами и углами прямоугольного треугольника:
44. Теорема косинусов. Следствия: связь между диагоналями и сторонами параллелограмма; определение вида треугольника; формула для вычисления длины медианы треугольника; вычисление косинуса угла треугольника.
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Свойство смежных углов.. определение два угла смежные если одна сторона у них общая в две другие образуют прямую линию..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Треугольники.
Основные понятия.
Треугольник - это фигура, состоящая из трех отрезков и трех точек, не лежащих на одной прямой.
Отрезки называются сторонами , а точки - вершинами .
Сумма углов треугольника равна 180 º .
Высота треугольника.
Высота треугольника - это перпендикуляр, проведенный из вершины к противолежащей стороне.
В остроугольном треугольнике высота содержится внутри треугольника (рис.1).
В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами треугольника (рис.2).
В тупоугольном треугольнике высота проходит вне треугольника (рис.3).
Свойства высоты треугольника:
Биссектриса треугольника.
Биссектриса треугольника - это отрезок, который делит угол вершины пополам и соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.5).
Свойства биссектрисы:
Медиана треугольника.
Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (рис.9а).
| Длину медианы можно вычислить по формуле: 2b
2 + 2c
2 - a
2 где m a - медиана, проведенная к стороне а . В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: c
где m c - медиана, проведенная к гипотенузе c (рис.9в) Медианы треугольника пересекаются в одной точке (в центре масс треугольника) и делятся этой точкой в соотношении 2:1, отсчитывая от вершины. То есть отрезок от вершины к центру в два раза больше отрезка от центра к стороне треугольника (рис.9с). Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. |
Средняя линия треугольника.
Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис.10).
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине
Внешний угол треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов (рис.11).
Внешний угол треугольника больше любого несмежного угла.
Прямоугольный треугольник.
Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого есть прямой угол (рис.12).
Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой .
Две другие стороны называются катетами .
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
1) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла, образует три подобных треугольника: ABC, ACH и HCB (рис.14а). Соответственно, углы, образуемые высотой, равны углам А и В.
Рис.14а
Равнобедренный треугольник.
Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны (рис.13).
Эти равные стороны называются боковыми сторонами , а третья - основанием треугольника.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (В нашем треугольнике угол А равен углу C).
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой треугольника.
Равносторонний треугольник.
Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны (рис.14).
Свойства равностороннего треугольника:
Замечательные свойства треугольников.
У треугольников есть оригинальные свойства, которые помогут вам успешно решать задачи, связанные с этими фигурами. Некоторые из этих свойств изложены выше. Но повторяем их еще раз, добавив к ним несколько других замечательных особенностей:
| 1) В прямоугольном треугольнике с углами 90º, 30º и 60º катет b , лежащий напротив угла в 30º, равен половине гипотенузы. А катет a больше катета b в √3 раз (рис.15а ). К примеру, если катет b равен 5, то гипотенуза c обязательно равна 10, а катет а равен 5√3. 2) В прямоугольном равнобедренном треугольнике с углами 90º, 45º и 45º гипотенуза в √2 раз больше катета (рис.15b ). К примеру, если катеты равны 5, то гипотенуза равна 5√2. 3) Средняя линия треугольника равна половине параллельной стороны (рис.15с ). К примеру, если сторона треугольника равна 10, то параллельная ей средняя линия равна 5. 4) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (рис.9в): m c = с/2. 5) Медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делятся этой точкой в соотношении 2:1. То есть отрезок от вершины к точке пересечения медиан в два раза больше отрезка от точки пересечения медиан к стороне треугольника (рис.9c) 6) В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности (рис.15d ). |
Признаки равенства треугольников .
Первый признак равенства : если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак равенства : если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Третий признак равенства : если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Неравенство треугольника.
В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
Теорема Пифагора.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
c 2 = a 2 + b 2 .
Площадь треугольника.
1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
ah
S
= ——
2
2) Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними:
1
S
= —
AB ·
AC
·
sin A
2
Треугольник, описанный около окружности.
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон (рис.16а ).
Треугольник, вписанный в окружность.
Треугольник называется вписанным в окружность, если он касается ее всеми вершинами (рис.17a ).
Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника (рис.18).
Синус
острого угла x
противолежащего
катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin
x
.
Косинус
острого угла x
прямоугольного треугольника - это отношение прилежащего
катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos x
.
Тангенс
острого угла x
- это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg
x
.
Котангенс
острого угла x
- это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg
x
.
Правила:
Катет, противолежащий углу x , равен произведению гипотенузы на sin x :
b = c · sin x
Катет, прилежащий к углу x , равен произведению гипотенузы на cos x :
a = c · cos x
Катет, противоположный углу x , равен произведению второго катета на tg x :
b = a · tg x
Катет, прилежащий к углу x , равен произведению второго катета на ctg x :
a = b · ctg x .
Для любого острого угла x :
sin (90° - x ) = cos x
cos (90° - x ) = sin x
На самом деле все совсем не так страшно. Конечно, «настоящее» определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса нужно смотреть в статье . Но очень не хочется, правда? Можем обрадовать: для решения задач про прямоугольный треугольник можно просто заполнить следующие простые вещи:
А что же угол? Есть ли катет, который находится напротив угла, то есть противолежащий (для угла) катет? Конечно, есть! Это катет!
А как же угол? Посмотри внимательно. Какой катет прилегает к углу? Конечно же, катет. Значит, для угла катет - прилежащий, и
А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:
Видишь, как здорово:
Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.
Как это теперь записать словами? Катет каким является по отношению к углу? Противолежащим, конечно - он «лежит» напротив угла. А катет? Прилегает к углу. Значит, что у нас получилось?
Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?
И теперь снова углы и совершили обмен:
Давай вкратце запишем всё, что мы узнали.
 |
Теорема Пифагора: |
Главная теорема о прямоугольном треугольнике - теорема Пифагора.
Кстати, хорошо ли ты помнишь, что такое катеты и гипотенуза? Если не очень, то смотри на рисунок - освежай знания
Вполне возможно, что ты уже много раз использовал теорему Пифагора, а вот задумывался ли ты, почему же верна такая теорема. Как бы её доказать? А давай поступим, как древние греки. Нарисуем квадрат со стороной.
Видишь, как хитро мы поделили его стороны на отрезки длин и!
А теперь соединим отмеченные точки
Тут мы, правда ещё кое что отметили, но ты сам посмотри на рисунок и подумай, почему так.
Чему же равна площадь большего квадрата?
Правильно, .
А площадь меньшего?
Конечно, .
Осталась суммарная площадь четырех уголков. Представь, что мы взяли их по два и прислонили друг к другу гипотенузами.
Что получилось? Два прямоугольника. Значит, площадь «обрезков» равна.
Давай теперь соберем всё вместе.
Преобразуем:
Вот и побывали мы Пифагором - доказали его теорему древним способом.
Для прямоугольного треугольника выполняются следующие соотношения:
Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе
Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету.
И ещё раз всё это в виде таблички:
Это очень удобно!
I. По двум катетам
II. По катету и гипотенузе
III. По гипотенузе и острому углу
IV. По катету и острому углу
a)
b)
Внимание! Здесь очень важно, чтобы катеты были «соответствующие». Например, если будет так:
То ТРЕУГОЛЬНИКИ НЕ РАВНЫ , несмотря на то, что имеют по одному одинаковому острому углу.
Нужно, чтобы в обоих треугольниках катет был прилежащим, или в обоих - противолежащим .
Ты заметил, чем отличаются признаки равенства прямоугольных треугольников от обычных признаков равенства треугольников?
Загляни в тему « и обрати внимание на то, что для равенства «рядовых» треугольников нужно равенство трех их элементов: две стороны и угол между ними, два угла и сторона между ними или три стороны.
А вот для равенства прямоугольных треугольников достаточно всего двух соответственных элементов. Здорово, правда?
Примерно такая же ситуация и с признаками подобия прямоугольных треугольников.
I. По острому углу
II. По двум катетам
III. По катету и гипотенузе
Почему это так?
Рассмотрим вместо прямоугольного треугольника целый прямоугольник.
Проведём диагональ и рассмотрим точку - точку пересечения диагоналей. Что известно про диагонали прямоугольника?
И что из этого следует?
Вот и получилось, что
Запомни этот факт! Очень помогает!
А что ещё более удивительно, так это то, что верно и обратное утверждение.
Что же хорошего можно получить из того, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы? А давай посмотрим на картинку
Посмотри внимательно. У нас есть: , то есть расстояния от точки до всех трёх вершин треугольника оказались равны. Но в треугольнике есть всего одна точка, расстояния от которой о всех трёх вершин треугольника равны, и это - ЦЕНТР ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ. Значит, что получилось?
Вот давай мы начнём с этого «кроме того...».
Посмотрим на и.
Но у подобных треугольников все углы равны!
То же самое можно сказать и про и
А теперь нарисуем это вместе:
Какую же пользу можно извлечь из этого «тройственного» подобия.
Ну, например - две формулы для высоты прямоугольного треугольника.
Запишем отношения соответствующих сторон:
Для нахождения высоты решаем пропорцию и получаем первую формулу "Высота в прямоугольном треугольнике" :
Ну вот, теперь, применяя и комбинируя эти знания с другими, ты решишь любую задачу с прямоугольным треугольником!
Итак, применим подобие: .
Что теперь получится?
Опять решаем пропорцию и получаем вторую формулу :
Обе эти формулы нужно очень хорошо помнить и применять ту, которую удобнее.
Запишем их ещё раз
Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: .
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
Признаки подобия прямоугольных треугольников:
Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике
Высота прямоугольного треугольника: или.
В прямоугольном треугольнике медиана , проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: .
Площадь прямоугольного треугольника:
